円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=1$, $CD=3$, $DA=3$である。$\angle A = \theta$とするとき、$\cos \theta$の値と四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=1$, $CD=3$, $DA=3$である。$\angle A = \theta$とするとき、$\cos \theta$の値と四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$の値を求める。

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle C = 180^\circ - \theta$となる。

三角形ABDと三角形BCDにおいて、余弦定理を用いると、BDの長さについて以下の式が成り立つ。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \theta = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \theta = 13 - 12 \cos \theta$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (-\cos \theta) = 10 + 6 \cos \theta$

これら２つの式から、$13 - 12 \cos \theta = 10 + 6 \cos \theta$となる。

$18 \cos \theta = 3$

$\cos \theta = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABDと三角形BCDの面積の和である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{2}$

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin (180^\circ - \theta) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{4}$

四角形ABCDの面積Sは、$\frac{\sqrt{35}}{2} + \frac{\sqrt{35}}{4} = \frac{2\sqrt{35} + \sqrt{35}}{4} = \frac{3\sqrt{35}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{1}{6}$

(2) $S = \frac{3\sqrt{35}}{4}$