整数 $x, y$ が $9x - 2y = 2$ を満たすとき、$xy$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

整数 $x, y$ が $9x - 2y = 2$ を満たすとき、$xy$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$9x - 2y = 2$ を $y$ について解きます。

$2y = 9x - 2$

$y = \frac{9x - 2}{2}$

$y = \frac{9x}{2} - 1$

$y$ が整数であるためには、$9x$ が偶数でなければなりません。したがって、$x$ は偶数である必要があります。そこで、$x = 2k$ ($k$は整数) とおくと、

$y = \frac{9(2k) - 2}{2} = \frac{18k - 2}{2} = 9k - 1$

したがって、$x = 2k$、$y = 9k - 1$ と表すことができます。このとき、$xy = (2k)(9k - 1) = 18k^2 - 2k$ となります。

$f(k) = 18k^2 - 2k$ とおくと、この関数の最小値を求めるために、平方完成をします。

$f(k) = 18(k^2 - \frac{1}{9}k) = 18(k^2 - \frac{1}{9}k + (\frac{1}{18})^2 - (\frac{1}{18})^2) = 18(k - \frac{1}{18})^2 - 18(\frac{1}{324}) = 18(k - \frac{1}{18})^2 - \frac{1}{18}$

$f(k)$ は、$k = \frac{1}{18}$ で最小値 $-\frac{1}{18}$ をとります。

しかし、$k$ は整数である必要があるので、$k$ に最も近い整数を考えます。$k=0$ または $k=1$ です。

$k=0$ のとき、$x = 2(0) = 0$、$y = 9(0) - 1 = -1$ であり、$xy = (0)(-1) = 0$ です。

$k=1$ のとき、$x = 2(1) = 2$、$y = 9(1) - 1 = 8$ であり、$xy = (2)(8) = 16$ です。

$k=-1$ のとき、$x=2(-1)=-2$, $y=9(-1)-1 = -10$ であり、$xy=(-2)(-10)=20$ です。

$k=0$ のとき、$xy=0$ となりますが、これが最小値かどうかを調べる必要があります。

$18k^2 - 2k < 0$ となるのは、$18k^2 < 2k$、$9k^2 < k$、$9k^2 - k < 0$、$k(9k - 1) < 0$ より、$0 < k < \frac{1}{9}$ となります。

$k$ が整数のとき、$xy$ が最小になるのは $k=0$ のときで、$xy=0$ です。

3. 最終的な答え

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