2次関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 1$ の定義域 $-6 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 1$ の定義域 $-6 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x) + 1$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) + 1 = -\frac{1}{3}((x+3)^2 - 9) + 1$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x+3)^2 + 3 + 1 = -\frac{1}{3}(x+3)^2 + 4$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $(-3, 4)$ であり、上に凸なグラフであることがわかります。

定義域は $-6 \le x \le 3$ です。頂点の $x$ 座標である $-3$ はこの範囲に含まれます。

$x = -3$ のとき、$f(x) = 4$ (最大値)

次に、定義域の端点の値を求めます。

$x = -6$ のとき、$f(-6) = -\frac{1}{3}(-6+3)^2 + 4 = -\frac{1}{3}(-3)^2 + 4 = -\frac{1}{3}(9) + 4 = -3 + 4 = 1$

$x = 3$ のとき、$f(3) = -\frac{1}{3}(3+3)^2 + 4 = -\frac{1}{3}(6)^2 + 4 = -\frac{1}{3}(36) + 4 = -12 + 4 = -8$

したがって、定義域 $-6 \le x \le 3$ において、

最大値は $4$ ($x = -3$ のとき)

最小値は $-8$ ($x = 3$ のとき)

3. 最終的な答え

最大値：4

最小値：-8