放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、元の放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ の頂点を求めます。

この放物線は平方完成された形なので、頂点は $(-2, -1)$ です。

次に、この頂点を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動します。

移動後の頂点の座標は、 $(-2+3, -1+2) = (1, 1)$ となります。

最後に、平行移動後の放物線の方程式を求めます。元の放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動するということは、$x$ を $x-3$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えるということです。

したがって、移動後の放物線の方程式は $y-2 = 2((x-3)+2)^2 - 1$ となります。

これを整理すると、

$y - 2 = 2(x-1)^2 - 1$

$y = 2(x-1)^2 - 1 + 2$

$y = 2(x-1)^2 + 1$

となります。

3. 最終的な答え

頂点: $(1, 1)$

式: $y = 2(x-1)^2 + 1$