2x2 の実行列 $A$ で $A^2 = 0$ を満たすものを全て求めよ。

1. 問題の内容

2x2 の実行列 $A$ で $A^2 = 0$ を満たすものを全て求めよ。

2. 解き方の手順

$A$ を次のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

ここで、$a, b, c, d$ は実数です。

$A^2 = A \cdot A = 0$ なので、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、以下の式が得られます。

$a^2+bc = 0$

$ab+bd = b(a+d) = 0$

$ac+cd = c(a+d) = 0$

$bc+d^2 = 0$

(1) $a+d \neq 0$ の場合

$b=0$ かつ $c=0$ が必要になります。

すると、$a^2 = 0$ かつ $d^2 = 0$ となり、$a=0$ かつ $d=0$ が導かれます。

これは、$a+d \neq 0$ に矛盾します。

(2) $a+d = 0$ の場合

$d=-a$ となります。

$a^2+bc=0$ より $bc=-a^2$ が得られます。

したがって、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ であり、$bc = -a^2$ を満たします。

$bc = -a^2$ は、$a^2+bc = 0$ と同値です。

もし $a = b = c = 0$ ならば、$A$ はゼロ行列になります。

最終的に、$A$ のトレースは $a + d = 0$ でなければならないことに注意してください。

また、$\text{rank}(A) = 0$ または $\text{rank}(A) = 1$ です。もし $\text{rank}(A) = 0$ ならば、$A = 0$ です。もし $\text{rank}(A) = 1$ ならば、$A$ は $\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ の形をしています。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$, where $a, b, c \in \mathbb{R}$ and $a^2 + bc = 0$.