5本の木の太さ $x$ (cm) と高さ $y$ (m) のデータが与えられています。$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求め、小数第3位を四捨五入して答える問題です。ただし、$\sqrt{6}=2.4$ とします。

1. 問題の内容

5本の木の太さ $x$ (cm) と高さ $y$ (m) のデータが与えられています。$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求め、小数第3位を四捨五入して答える問題です。ただし、$\sqrt{6}=2.4$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の平均 $\bar{x}$, $\bar{y}$、標準偏差 $s_x$, $s_y$、共分散 $s_{xy}$ を求めます。

相関係数 $r$ は $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ で計算できます。

データの値は次の通りです。

$x = [21, 27, 29, 23, 30]$

$y = [13, 20, 19, 17, 21]$

ステップ1: 平均を計算します。

$\bar{x} = \frac{21+27+29+23+30}{5} = \frac{130}{5} = 26$

$\bar{y} = \frac{13+20+19+17+21}{5} = \frac{90}{5} = 18$

ステップ2: 標準偏差を計算します。

$x$ の偏差の二乗和:

$(21-26)^2 + (27-26)^2 + (29-26)^2 + (23-26)^2 + (30-26)^2 = 25 + 1 + 9 + 9 + 16 = 60$

$s_x = \sqrt{\frac{60}{5}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$y$ の偏差の二乗和:

$(13-18)^2 + (20-18)^2 + (19-18)^2 + (17-18)^2 + (21-18)^2 = 25 + 4 + 1 + 1 + 9 = 40$

$s_y = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

ステップ3: 共分散を計算します。

$x$ と $y$ の偏差積の和:

$(21-26)(13-18) + (27-26)(20-18) + (29-26)(19-18) + (23-26)(17-18) + (30-26)(21-18) = (-5)(-5) + (1)(2) + (3)(1) + (-3)(-1) + (4)(3) = 25 + 2 + 3 + 3 + 12 = 45$

$s_{xy} = \frac{45}{5} = 9$

ステップ4: 相関係数を計算します。

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{9}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{9}{4\sqrt{6}} = \frac{9\sqrt{6}}{4 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$

$\sqrt{6} = 2.4$ を用いて、

$r = \frac{3 \cdot 2.4}{8} = \frac{7.2}{8} = 0.9$

3. 最終的な答え

0.9