放物線 $y = -2(x-5)^2 + 4$ を、$x$軸方向に-3、$y$軸方向に-5だけ平行移動して得られる放物線の頂点の座標と方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2(x-5)^2 + 4$ を、$x$軸方向に-3、$y$軸方向に-5だけ平行移動して得られる放物線の頂点の座標と方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、元の放物線の頂点を求める。

放物線 $y = a(x-p)^2 + q$ の頂点は $(p, q)$ である。

したがって、$y = -2(x-5)^2 + 4$ の頂点は $(5, 4)$ である。

次に、平行移動後の頂点を求める。

$x$軸方向に-3、$y$軸方向に-5だけ平行移動するので、

頂点の座標は $(5-3, 4-5) = (2, -1)$ となる。

次に、平行移動後の放物線の方程式を求める。

$x$軸方向に-3、$y$軸方向に-5だけ平行移動するということは、$x$を $x+3$ に、$y$を $y+5$ に置き換えることである。

したがって、$y = -2(x-5)^2 + 4$ は

$y+5 = -2((x+3)-5)^2 + 4$

$y+5 = -2(x-2)^2 + 4$

$y = -2(x-2)^2 + 4 - 5$

$y = -2(x-2)^2 - 1$

となる。

3. 最終的な答え

頂点: $(2, -1)$

式: $y = -2(x-2)^2 - 1$