与えられた式 $(x-4)(x-1)(x+3)(x+6)$ を展開し、$x^4 + \text{キ} x^3 - 23x^2 - \text{クケ} x + 72$ の形に変形する。そして、「キ」と「クケ」に当てはまる数を求める。すでに「キ」は6と分かっている。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-4)(x-1)(x+3)(x+6)$ を展開し、$x^4 + \text{キ} x^3 - 23x^2 - \text{クケ} x + 72$ の形に変形する。そして、「キ」と「クケ」に当てはまる数を求める。すでに「キ」は6と分かっている。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を2つの組に分けて展開します。

$(x-4)(x+6) = x^2 + 6x - 4x - 24 = x^2 + 2x - 24$

$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 2x - 24)(x^2 + 2x - 3)$

ここで、$A = x^2 + 2x$ とおくと、式は $(A - 24)(A - 3)$ となり、展開すると

$A^2 - 27A + 72$

となります。

$A = x^2 + 2x$ を代入して

$(x^2 + 2x)^2 - 27(x^2 + 2x) + 72$

$= x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 27x^2 - 54x + 72$

$= x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 54x + 72$

したがって、与えられた式は $x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 54x + 72$ と展開できます。

これと $x^4 + \text{キ} x^3 - 23x^2 - \text{クケ} x + 72$ を比較すると、

キ = 4

クケ = 54

3. 最終的な答え

キ = 4

クケ = 54