$f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) とする。$t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の関数で表す。

1. 問題の内容

$f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) とする。$t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の関数で表す。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗する。

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

したがって、

$2\sin x \cos x = t^2 - 1$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

次に、$f(x)$ を $t$ で表す。

$f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$

$f(x) = \sqrt{2} \left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) + t$

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} (t^2 - 1) + t$

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} + t$

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$