点 $P(x, y)$ が原点Oを中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、$\sqrt{3}x + y$ の最小値と、$x^2 + 2xy + 3y^2$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P(x, y)$ が原点Oを中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、$\sqrt{3}x + y$ の最小値と、$x^2 + 2xy + 3y^2$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3}x + y$ の最小値を求めます。

円の方程式は $x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ です。

$x = \sqrt{2}\cos\theta$, $y = \sqrt{2}\sin\theta$ とおくと、

\begin{align*} \label{eq:1}\sqrt{3}x + y &= \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta \\ &= \sqrt{2}(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta) \\ &= \sqrt{2} \cdot 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta) \\ &= 2\sqrt{2} (\sin(\frac{\pi}{3})\cos\theta + \cos(\frac{\pi}{3})\sin\theta) \\ &= 2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})\end{align*}

$-1 \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \leq 1$ より、$\sqrt{3}x + y$ の最小値は $-2\sqrt{2}$ です。

次に、$x^2 + 2xy + 3y^2$ の最大値を求めます。

$x = \sqrt{2}\cos\theta$, $y = \sqrt{2}\sin\theta$ を代入すると、

\begin{align*}x^2 + 2xy + 3y^2 &= (\sqrt{2}\cos\theta)^2 + 2(\sqrt{2}\cos\theta)(\sqrt{2}\sin\theta) + 3(\sqrt{2}\sin\theta)^2 \\ &= 2\cos^2\theta + 4\cos\theta\sin\theta + 6\sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta + 2\sin^2\theta + 4\sin^2\theta + 2\sin2\theta \\ &= 2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + 4\sin^2\theta + 2\sin2\theta \\ &= 2 + 4\sin^2\theta + 2\sin2\theta \\ &= 2 + 4 \cdot \frac{1 - \cos2\theta}{2} + 2\sin2\theta \\ &= 2 + 2 - 2\cos2\theta + 2\sin2\theta \\ &= 4 + 2(\sin2\theta - \cos2\theta) \\ &= 4 + 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos2\theta) \\ &= 4 + 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin2\theta - \sin(\frac{\pi}{4})\cos2\theta) \\ &= 4 + 2\sqrt{2}\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})\end{align*}

$-1 \leq \sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) \leq 1$ より、最大値は $4 + 2\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}x + y$ の最小値は $-2\sqrt{2}$ です。

$x^2 + 2xy + 3y^2$ の最大値は $4 + 2\sqrt{2}$ です。