$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin\theta = \frac{3}{4}$ である。このとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin\theta = \frac{3}{4}$ である。このとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

を利用して、$\cos\theta$ を求める。

$\sin\theta = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$(\frac{3}{4})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{16} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{16}$

$\cos^2\theta = \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

$\cos^2\theta = \frac{7}{16}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

ここで、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。$\sin\theta = \frac{3}{4} > 0$ であるので、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。$\cos\theta$ は第一象限で正、第二象限で負である。よって、$\cos\theta$ の値は正と負の両方があり得る。しかし問題文より$\sin\theta$は正であるから$\theta$は第一象限または第二象限である。よって$0^\circ < \theta < 180^\circ$の範囲では、$\cos\theta$は正にも負にもなり得ます。ここで$\theta$が鋭角のときcosθ>0, 鈍角のときcosθ<0である。したがってcosθの値はどちらも取りうるので

$\cos\theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan\theta$ を求める。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan\theta = \frac{\frac{3}{4}}{\pm\frac{\sqrt{7}}{4}}$

$\tan\theta = \frac{3}{4} \times \frac{4}{\pm\sqrt{7}}$

$\tan\theta = \pm\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\tan\theta = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$