$\sin{\theta} = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\sin{\theta} = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を用いて $\cos{\theta}$ を求めます。

$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$

$\cos^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ の範囲では $\cos{\theta} < 0$ であるため、$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$ となります。

次に、$\tan{\theta}$ を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であるので、

$\tan{\theta} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{4}{\sqrt{15}}) = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan{\theta} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$