$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であることを利用します。また、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ という関係も使います。

まず、$\tan{\theta} = -\frac{2}{3}$ より、

$\sin{\theta} = -\frac{2}{3} \cos{\theta}$

これを $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ に代入すると、

$(-\frac{2}{3} \cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{4}{9} \cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{13}{9} \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{9}{13}$

$\cos{\theta} = \pm \sqrt{\frac{9}{13}} = \pm \frac{3}{\sqrt{13}}$

ここで、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ なので、$\cos{\theta} < 0$ となります。

よって、$\cos{\theta} = -\frac{3}{\sqrt{13}} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$

次に、$\sin{\theta}$ を求めます。

$\sin{\theta} = -\frac{2}{3} \cos{\theta} = -\frac{2}{3} (-\frac{3\sqrt{13}}{13}) = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\sin{\theta} > 0$ となり、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ の範囲と一致します。

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$