与えられた式を計算します。問題は2つあります。 (1) $3\sqrt{27} + 2\sqrt{12} - \sqrt{75}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。問題は2つあります。

(1) $3\sqrt{27} + 2\sqrt{12} - \sqrt{75}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を簡単にします。$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$なので、

$3\sqrt{27} + 2\sqrt{12} - \sqrt{75} = 3(3\sqrt{3}) + 2(2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (9+4-5)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

(2) 各項を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{(\sqrt{3} + \sqrt{4})(\sqrt{3} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{-1} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{5}}{(\sqrt{4} + \sqrt{5})(\sqrt{4} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $8\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{5} - \sqrt{2}$