2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ において、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲で最小値が1であるとき、$a$ の値と最大値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ において、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲で最小値が1であるとき、$a$ の値と最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + a = 2(x^2 - 2x) + a = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a = 2(x-1)^2 - 2 + a$

よって、

$y = 2(x-1)^2 + a - 2$

この2次関数の頂点の座標は $(1, a-2)$ です。

$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲で考えるので、軸 $x=1$ は定義域に含まれています。

最小値が1であることから、$a-2 = 1$ が成り立ちます。

$a = 3$

次に、最大値を求めます。定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ の端点における $y$ の値を調べます。

$x=0$ のとき、 $y = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

$x=3$ のとき、 $y = 2(3)^2 - 4(3) + 3 = 18 - 12 + 3 = 9$

よって、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲における最大値は9です。

3. 最終的な答え

$a = 3$

最大値は 9