(1) 関数 $y = -2x^3 + 3x^2 - 6$ の極大値と極小値を求める。 (2) 関数 $y = x^3 + kx^2 + 3x + 1$ が常に単調に増加するときの定数 $k$ の値の範囲を求める。 (3) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 5$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるときの $a$, $b$ の値を求め、さらに極大値と極小値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -2x^3 + 3x^2 - 6$ の極大値と極小値を求める。

(2) 関数 $y = x^3 + kx^2 + 3x + 1$ が常に単調に増加するときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

(3) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 5$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるときの $a$, $b$ の値を求め、さらに極大値と極小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分します。

$\qquad y' = -6x^2 + 6x = -6x(x - 1)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = 1$ のときです。

$x < 0$ のとき $y' < 0$、 $0 < x < 1$ のとき $y' > 0$、 $x > 1$ のとき $y' < 0$ となるため、$x = 0$ で極小値、 $x = 1$ で極大値をとります。

$x = 0$ のとき $y = -6$ (極小値)

$x = 1$ のとき $y = -2 + 3 - 6 = -5$ (極大値)

(2)

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分します。

$\qquad y' = 3x^2 + 2kx + 3$

関数 $y$ が常に単調に増加するためには、すべての $x$ に対して $y' \ge 0$ である必要があります。これは、$y'$ が常に非負である、つまり2次方程式 $y' = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ であることを意味します。

$\qquad D = (2k)^2 - 4(3)(3) = 4k^2 - 36$

$D \le 0$ より $4k^2 - 36 \le 0$ なので、$k^2 \le 9$。

よって、 $-3 \le k \le 3$

(3)

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ で微分します。

$\qquad f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f(x)$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるため、$f'(-3) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ となります。

$\qquad f'(-3) = 3(-3)^2 + 2a(-3) + b = 27 - 6a + b = 0$

$\qquad f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b = 0$

これらの連立方程式を解きます。

$\qquad 27 - 6a + b = 0$

$\qquad 3 + 2a + b = 0$

2式を引き算すると $24 - 8a = 0$ となり、$a = 3$ となります。

$3 + 2(3) + b = 0$ より、$3 + 6 + b = 0$ なので、$b = -9$ となります。

したがって、$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5$

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)$

$f'(-3) = 0$、$f'(1) = 0$ であり、$x < -3$ のとき $f'(x) > 0$、 $-3 < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$、 $x > 1$ のとき $f'(x) > 0$ となるため、$x = -3$ で極大値、$x = 1$ で極小値をとります。

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 5 = -27 + 27 + 27 - 5 = 22$ (極大値)

$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10$ (極小値)

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$ で極大値 $-5$ をとり、$x = 0$ で極小値 $-6$ をとる。

(2) $-3 \le k \le 3$

(3) $a = 3$, $b = -9$ であり、極大値は $22$, 極小値は $-10$ である。