$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = -6(x^2 - x - 2) = -6(x - 2)(x + 1)$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) 関数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 4$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3$ の $-2 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める。

(3) $a > 0$ とする。関数 $y = ax^3 + 3ax^2 + b$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値が 10, 最小値が -8 であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

#### (1) 関数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 4$ の最大値と最小値

1. 導関数を求める:

$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = -6(x^2 - x - 2) = -6(x - 2)(x + 1)$

2. 極値を求める:

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 2, -1$。

3. 増減表を作成する:

| $x$ | -2 | ... | -1 | ... | 2 | ... | 3 |

| :----- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| $f'(x)$ | | - | 0 | + | 0 | - | |

| $f(x)$ | -36 | | -11 | | 16 | | 5 |

4. 区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算する:

$f(-2) = -2(-8) + 3(4) + 12(-2) - 4 = 16 + 12 - 24 - 4 = -36$

$f(-1) = -2(-1) + 3(1) + 12(-1) - 4 = 2 + 3 - 12 - 4 = -11$

$f(2) = -2(8) + 3(4) + 12(2) - 4 = -16 + 12 + 24 - 4 = 16$

$f(3) = -2(27) + 3(9) + 12(3) - 4 = -54 + 27 + 36 - 4 = 5$

5. 最大値と最小値を決定する:

最大値は $f(2) = 16$ ($x = 2$)

最小値は $f(-2) = -36$ ($x = -2$)

#### (2) 関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3$ の最大値と最小値

1. 導関数を求める:

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 16x = 4x(x^2 - 3x - 4) = 4x(x - 4)(x + 1)$

2. 極値を求める:

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -1, 0, 4$。

3. 増減表を作成する:

| $x$ | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... | 4 | ... | 5 |

| :----- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| $f'(x)$ | | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |

| $f(x)$ | 27 | | -2 | | 3 | | -125| | -12 |

4. 区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算する:

$f(-2) = 16 - 4(-8) - 8(4) + 3 = 16 + 32 - 32 + 3 = 19$

$f(-1) = 1 - 4(-1) - 8(1) + 3 = 1 + 4 - 8 + 3 = 0$

$f(0) = 3$

$f(4) = 256 - 4(64) - 8(16) + 3 = 256 - 256 - 128 + 3 = -125$

$f(5) = 625 - 4(125) - 8(25) + 3 = 625 - 500 - 200 + 3 = -72$

5. 最大値と最小値を決定する:

最大値は $f(-2) = 27$ ($x = -2$)

最小値は $f(4) = -125$ ($x = 4$)

#### (3) 関数 $y = ax^3 + 3ax^2 + b$ の $a, b$ を求める

1. 導関数を求める:

$y' = 3ax^2 + 6ax = 3ax(x + 2)$

2. 極値を求める:

$y' = 0$ となる $x$ は $x = 0, -2$。定義域は $-1 \le x \le 2$ なので、$x=0$ が極値となる。

3. 増減表を作成する:

| $x$ | -1 | ... | 0 | ... | 2 |

| :----- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| $y'(x)$ | | - | 0 | + | |

| $y(x)$ | 2a+b| | b | | 20a+b|

4. 区間の端点における $y$ の値を計算する:

$y(-1) = a(-1) + 3a(1) + b = -a + 3a + b = 2a + b$

$y(0) = b$

$y(2) = a(8) + 3a(4) + b = 8a + 12a + b = 20a + b$

5. $a > 0$ より、$20a+b > 2a+b > b$ である。

したがって、最大値は $20a + b = 10$、最小値は $b = -8$。

6. $b = -8$ を $20a + b = 10$ に代入して $a$ を求める:

$20a - 8 = 10$

$20a = 18$

$a = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

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3. 最終的な答え

(1) $x = 2$ で最大値 $16$ をとり、$x = -2$ で最小値 $-36$ をとる。

(2) $x = -2$ で最大値 $27$ をとり、$x = 4$ で最小値 $-125$ をとる。

(3) $a = \frac{9}{10}$, $b = -8$ である。