$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係の公式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用します。

$\cos A = \frac{1}{4}$ を $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ に代入すると、

$\sin^2 A + (\frac{1}{4})^2 = 1$

$\sin^2 A + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 A = \frac{16}{16} - \frac{1}{16}$

$\sin^2 A = \frac{15}{16}$

$\sin A = \pm\sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin A = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

通常、三角関数の問題では角度の範囲が与えられていないため、$\sin A$ は正と負の両方の値を取り得ます。しかし、特に断りがない場合、$0^\circ \le A \le 180^\circ$の範囲で考えることが多く、その場合$\sin A \ge 0$となります。ここでは角度の範囲が指定されていないので、正と負の両方の場合を考慮して答えを記述します。

3. 最終的な答え

$\sin A = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$