(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) 2つの放物線 $y = 2x^2 - 9x - 12$ ($1 \le x \le 5$) と $y = -x^2 + 5x - 7$ ($1 \le x \le 5$), および2直線 $x = 1$, $x = 5$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めます。

(2) 2つの放物線 $y = 2x^2 - 9x - 12$ ($1 \le x \le 5$) と $y = -x^2 + 5x - 7$ ($1 \le x \le 5$), および2直線 $x = 1$, $x = 5$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ の交点を求めます。

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -1, 3$ です。

次に、$-1 \le x \le 3$ において、どちらの関数が大きいかを調べます。例えば、$x = 0$ を代入すると、$y = 0^2 = 0$ と $y = 2(0) + 3 = 3$ となり、$2x + 3 > x^2$ であることがわかります。

求める面積 $S$ は、以下の定積分で計算できます。

$S = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) dx$

$S = [x^2 + 3x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{3}$

$S = (3^2 + 3(3) - \frac{1}{3}(3)^3) - ((-1)^2 + 3(-1) - \frac{1}{3}(-1)^3)$

$S = (9 + 9 - 9) - (1 - 3 + \frac{1}{3})$

$S = 9 - (-2 + \frac{1}{3})$

$S = 9 - (-\frac{5}{3})$

$S = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$

(2) 2つの放物線 $y = 2x^2 - 9x - 12$ と $y = -x^2 + 5x - 7$ で囲まれた部分の面積を求めます。

$1 \le x \le 5$ の範囲で、どちらの関数が大きいかを調べます。

$f(x) = -x^2 + 5x - 7$

$g(x) = 2x^2 - 9x - 12$

$f(x) - g(x) = (-x^2 + 5x - 7) - (2x^2 - 9x - 12)$

$f(x) - g(x) = -3x^2 + 14x + 5$

$f(x) - g(x) = -(3x+1)(x-5)$

区間 $1 \le x \le 5$ において、 $3x+1>0$であり、$(x-5) \le 0$なので、$f(x) - g(x) \ge 0$ つまり、$f(x) \ge g(x)$ です。

求める面積 $S$ は、以下の定積分で計算できます。

$S = \int_{1}^{5} ((-x^2 + 5x - 7) - (2x^2 - 9x - 12)) dx$

$S = \int_{1}^{5} (-3x^2 + 14x + 5) dx$

$S = [-x^3 + 7x^2 + 5x]_{1}^{5}$

$S = (-(5)^3 + 7(5)^2 + 5(5)) - (-(1)^3 + 7(1)^2 + 5(1))$

$S = (-125 + 175 + 25) - (-1 + 7 + 5)$

$S = 75 - 11 = 64$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$

(2) $64$