三角形ABCにおいて、余弦定理を用いて辺bの長さを求め、その後、三角形ABCの面積Sを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いて辺bの長さを求め、その後、三角形ABCの面積Sを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を適用します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

この問題では、$a=8$, $c=5$, $B=60^\circ$ なので、

$b^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$b^2 = 64 + 25 - 2 \times 8 \times 5 \times \frac{1}{2}$

$b^2 = 64 + 25 - 40$

$b^2 = 89 - 40$

$b^2 = 49$

$b>0$ より、$b = \sqrt{49} = 7$

次に、三角形の面積Sを求めます。

$S = \frac{1}{2}ac\sin B$

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 10\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

カ: 8

キ: 5

ク: 2

ケ: 49

コ: 7

サ: 8

シ: 5

工: $\sqrt{3}$

ス: $10\sqrt{3}$