(1) $n$ を0以上の整数、$x > 0$とするとき、以下の不等式が成り立つことを示す問題です。 $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ (2) $n$ を正の整数とするとき、以下の2つの極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$ $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $n$ を0以上の整数、$x > 0$とするとき、以下の不等式が成り立つことを示す問題です。

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$

(2) $n$ を正の整数とするとき、以下の2つの極限値を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

数学的帰納法で証明します。

(i) $n=0$ のとき：

$e^x > 1$

$x > 0$ より $e^x > 1$ は明らかに成立します。

(ii) $n=k$ で不等式が成り立つと仮定します。つまり、

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^k}{k!}$

が成り立つと仮定します。

$n=k+1$ のときを考えます。

$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$

を示せば良いです。

関数 $f(x) = e^x - \left(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right)$ を定義し、$f(x)>0$ を示すことを考えます。

$f'(x) = e^x - \left(1 + \frac{x}{1!} + \dots + \frac{x^k}{k!}\right)$

帰納法の仮定より、$f'(x) > \frac{x^k}{k!} \ge 0$ です。

$f(0) = e^0 - 1 = 0$ であるので、$x>0$ に対して、$f(x)>0$ が成り立ちます。

したがって、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ が成り立ち、$n=k+1$ の時も成立することが示せました。

数学的帰納法により、$n \ge 0$ のすべての整数に対して、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立ちます。

(2) 極限の計算

(i) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

これは不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を適用します。$n$ 回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} = \dots = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$

(ii) $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$

$x = e^{-t}$ と置換すると、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ となります。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (\log e^{-t})^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = (-1)^n \cdot 0 = 0$

ロピタルの定理を適用しても同様に解けます。

3. 最終的な答え

(1) $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ は示された。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$