数列 $\{a_n\}$ が $3, 5, 9, 15, 23, 33, 45, 59, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列 $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、$b_n$ を求め、そこから $a_n$ を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $3, 5, 9, 15, 23, 33, 45, 59, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列 $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、$b_n$ を求め、そこから $a_n$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 15 - 9 = 6$

$b_4 = a_5 - a_4 = 23 - 15 = 8$

$b_5 = a_6 - a_5 = 33 - 23 = 10$

$b_6 = a_7 - a_6 = 45 - 33 = 12$

$b_7 = a_8 - a_7 = 59 - 45 = 14$

階差数列 $\{b_n\}$ は $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, \dots$ となり、これは初項が $2$、公差が $2$ の等差数列です。

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$b_n = 2 + (n-1) \times 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$

と表されます。

次に、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$a_1 = 3$ なので、

$a_n = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k = 3 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 3 + n(n-1) = 3 + n^2 - n = n^2 - n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 3 = 3$ となり、これは数列の最初の項と一致するので、$a_n = n^2 - n + 3$ はすべての $n$ で成立します。

3. 最終的な答え

$b_n = 2n$

$a_n = n^2 - n + 3$