$(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

この式を簡単にするために、$A = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ とおきます。すると、与えられた式は $(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7})$ となります。

これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を用いることができます。

よって、

$(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7}) = A^2 - (\sqrt{7})^2 = A^2 - 7$

ここで、$A = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ でしたので、$A^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2$ を計算します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$

したがって、

$A^2 - 7 = (7 + 2\sqrt{10}) - 7 = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{10}$