数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = 2n^2 - 3n$ で与えられているとき、一般項$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = 2n^2 - 3n$ で与えられているとき、一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

一般項$a_n$は、和$S_n$を用いて次のように表すことができます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n=1$のとき、

$a_1 = S_1$

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$を計算します。

$S_n = 2n^2 - 3n$なので、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 - 3(n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 = 2n^2 - 4n + 2 - 3n + 3 = 2n^2 - 7n + 5$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - 3n) - (2n^2 - 7n + 5) = 2n^2 - 3n - 2n^2 + 7n - 5 = 4n - 5$

次に、$n=1$のとき、$a_1 = S_1$ を計算します。

$S_1 = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$

$a_n = 4n - 5$ に $n=1$ を代入すると、 $a_1 = 4(1) - 5 = -1$ となり、$a_1 = S_1$ と一致します。

したがって、$a_n = 4n - 5$ は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n - 5$