問題は2つの数列 $\{a_n\}$ に関する穴埋め問題です。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 3}$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_2, a_3, a_4, a_5$ を求める。 (2) $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} - a_n = 4$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_3, a_4, a_5, a_6$ を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの数列 $\{a_n\}$ に関する穴埋め問題です。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 3}$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_2, a_3, a_4, a_5$ を求める。

(2) $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} - a_n = 4$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_3, a_4, a_5, a_6$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $a_2 = \sqrt{a_1^2 + 3} = \sqrt{1^2 + 3} = \sqrt{4} = 2$

* $a_3 = \sqrt{a_2^2 + 3} = \sqrt{2^2 + 3} = \sqrt{7}$

* $a_4 = \sqrt{a_3^2 + 3} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 3} = \sqrt{7+3} = \sqrt{10}$

* $a_5 = \sqrt{a_4^2 + 3} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 3} = \sqrt{10+3} = \sqrt{13}$

(2)

* $a_{n+2} = a_n + 4$ という漸化式なので、これを利用して計算する。

* $a_3 = a_1 + 4 = 2 + 4 = 6$

* $a_4 = a_2 + 4 = 3 + 4 = 7$

* $a_5 = a_3 + 4 = 6 + 4 = 10$

* $a_6 = a_4 + 4 = 7 + 4 = 11$

3. 最終的な答え

(1)

* $a_2 = 2$

* $a_3 = \sqrt{7}$

* $a_4 = \sqrt{10}$

* $a_5 = \sqrt{13}$

(2)

* $a_3 = 6$

* $a_4 = 7$

* $a_5 = 10$

* $a_6 = 11$