与えられた二つの不等式を解く問題です。 (1) 絶対値記号を含む不等式: $|x-2| < 3x+6$ (2) 定数 $a$ を含む不等式: $ax + 3 \geq 2x$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を解く問題です。

(1) 絶対値記号を含む不等式: $|x-2| < 3x+6$

(2) 定数 $a$ を含む不等式: $ax + 3 \geq 2x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-2| < 3x+6$ の解き方

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x-2 \geq 0$ つまり $x \geq 2$ のとき

$|x-2| = x-2$ なので、不等式は $x-2 < 3x+6$ となります。

これを解くと、

$-2x < 8$

$x > -4$

$x \geq 2$ と $x > -4$ の共通範囲は $x \geq 2$。

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、不等式は $-x+2 < 3x+6$ となります。

これを解くと、

$-4x < 4$

$x > -1$

$x < 2$ と $x > -1$ の共通範囲は $-1 < x < 2$。

(i), (ii) より、解は $x \geq 2$ または $-1 < x < 2$ なので、 $-1 < x$。

(2) $ax + 3 \geq 2x$ の解き方

$x$ について整理すると、

$ax - 2x \geq -3$

$(a-2)x \geq -3$

ここで、$a-2$ の正負によって場合分けを行います。

(i) $a-2 > 0$ つまり $a > 2$ のとき

$x \geq \frac{-3}{a-2}$

(ii) $a-2 < 0$ つまり $a < 2$ のとき

$x \leq \frac{-3}{a-2}$

(iii) $a-2 = 0$ つまり $a = 2$ のとき

$0x \geq -3$

これは常に成立するので、$x$ はすべての実数。

3. 最終的な答え

(1) $|x-2| < 3x+6$ の解: $x > -1$

(2) $ax + 3 \geq 2x$ の解:

$a > 2$ のとき、$x \geq \frac{-3}{a-2}$

$a < 2$ のとき、$x \leq \frac{-3}{a-2}$

$a = 2$ のとき、$x$ はすべての実数