(1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_{100}$ を求めます。 (2) 初項 $a_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。選択肢として、0: $3^n$, 1: $3^{n-1}$, 2: $3^{n+1}$ が与えられています。 (3) 初項 $a_1 = 10$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について、$a_{100}$ を求めます。

(2) 初項 $a_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。選択肢として、0: $3^n$, 1: $3^{n-1}$, 2: $3^{n+1}$ が与えられています。

(3) 初項 $a_1 = 10$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4$ は、数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示しています。初項 $a_1 = 3$、公差 $d = 4$ であるから、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$

したがって、$a_{100} = 4(100) - 1 = 400 - 1 = 399$

(2)

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n$ は、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示しています。初項 $a_1 = 2$、公比 $r = 3$ であるから、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

よって、イには2, ウには$3^{n-1}$が入ります。

(3)

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ より、

$a_{n+1} - a_n = 2n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 10 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 10 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 10 + n(n-1) = n^2 - n + 10$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 10 = 10$ となり、成り立つ。

したがって、$a_n = n^2 - n + 10$

3. 最終的な答え

(1) 399

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = n^2 - n + 10$