数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})a_n + 3n + 3$ で定義されている。$a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求め、$a_n$ の一般項を推測する。そして、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})a_n + 3n + 3$ で定義されている。$a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求め、$a_n$ の一般項を推測する。そして、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$, $a_3$, $a_4$ を計算する。

$a_2 = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{1})a_1 + 3(1) + 3 = \frac{1}{4}(2)(4) + 3 + 3 = 2 + 6 = 8$

$a_3 = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{2})a_2 + 3(2) + 3 = \frac{1}{4}(\frac{3}{2})(8) + 6 + 3 = 3 + 9 = 12$

$a_4 = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{3})a_3 + 3(3) + 3 = \frac{1}{4}(\frac{4}{3})(12) + 9 + 3 = 4 + 12 = 16$

$a_1 = 4$, $a_2 = 8$, $a_3 = 12$, $a_4 = 16$ より、$a_n = 4n$ と推測できる。

次に、数学的帰納法で $a_n = 4n$ であることを証明する。

[I] $n=1$ のとき、$a_1 = 4 = 4(1)$ なので、$n=1$ で成立する。

[II] $n=k$ のとき、$a_k = 4k$ が成り立つと仮定する。このとき、

$a_{k+1} = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{k})a_k + 3k + 3 = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{k})(4k) + 3k + 3 = \frac{1}{4}(\frac{k+1}{k})(4k) + 3k + 3 = (k+1) + 3k + 3 = 4k + 4$

したがって、$n=k+1$ のときも $a_{k+1} = 4(k+1)$ となり、$a_n = 4n$ は成り立つ。

よって、$a_{k+1} = \frac{1}{4}(1+\frac{1}{k})a_k + 3k + 3 = 4k+4$ である。したがって、オに入るのは $4k+4$ である。

$n=k+1$ のときも $a_n = 4n$ が成り立つ。

[I], [II] より、すべての自然数 $n$ について $a_n = 4n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

* $a_2 = 8$

* $a_3 = 12$

* $a_4 = 16$

* $a_n = 4n$

* オ = 1

* カ = k+1