2つのサイコロA, Bを投げたときに出た目をそれぞれX, Yとする。以下の確率変数の期待値と分散を求める。 (1) 確率変数 X (2) 確率変数 Z = 2X - 1 (3) 確率変数 Z = X + Y

1. 問題の内容

2つのサイコロA, Bを投げたときに出た目をそれぞれX, Yとする。以下の確率変数の期待値と分散を求める。

(1) 確率変数 X

(2) 確率変数 Z = 2X - 1

(3) 確率変数 Z = X + Y

2. 解き方の手順

(1) 確率変数Xについて

サイコロの目の期待値は、各目の確率が等しいことから、

$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

サイコロの目の分散は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[X] = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

(2) 確率変数 Z = 2X - 1について

期待値は線形性から、

$E[Z] = E[2X - 1] = 2E[X] - 1 = 2 \times \frac{7}{2} - 1 = 7 - 1 = 6$

分散は、

$V[Z] = V[2X - 1] = 2^2 V[X] = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$

(3) 確率変数 Z = X + Yについて

期待値は線形性から、

$E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7$

分散は、XとYが独立であることから、

$V[Z] = V[X + Y] = V[X] + V[Y] = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 期待値: 3.5, 分散: 35/12

(2) 期待値: 6, 分散: 35/3

(3) 期待値: 7, 分散: 35/6