ハートとスペードのそれぞれ1から13までのカード、計26枚のカードがある。この26枚から2枚のカードを引くとき、2枚が同じマークであるか、2枚の数字の和が22以上である確率を求めよ。

1. 問題の内容

ハートとスペードのそれぞれ1から13までのカード、計26枚のカードがある。この26枚から2枚のカードを引くとき、2枚が同じマークであるか、2枚の数字の和が22以上である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全事象の数、つまり26枚のカードから2枚を引く場合の数を計算します。これは組み合わせの問題なので、

$_{26}C_2 = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 325$通り

次に、2枚が同じマークである場合の数を計算します。ハートとスペードそれぞれについて、13枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせを考えます。

ハートで2枚を選ぶ場合の数は、$_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$通り

スペードで2枚を選ぶ場合の数は、$_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$通り

よって、2枚が同じマークである場合の数は、 $78 + 78 = 156$通り

次に、2枚の数字の和が22以上になる場合の数を計算します。

和が22になる組み合わせは、(9, 13), (10, 12), (11, 11)

和が23になる組み合わせは、(10, 13), (11, 12)

和が24になる組み合わせは、(11, 13), (12, 12)

和が25になる組み合わせは、(12, 13)

和が26になる組み合わせは、(13, 13)

それぞれの組み合わせに対して、ハートとスペードの組み合わせを考えます。

(9, 13): $2 \times 2 = 4$通り

(10, 12): $2 \times 2 = 4$通り

(11, 11): $2C_2 = 1 + 2C_2 = 1$通り

(10, 13): $2 \times 2 = 4$通り

(11, 12): $2 \times 2 = 4$通り

(11, 13): $2 \times 2 = 4$通り

(12, 12): 1通り

(12, 13): $2 \times 2 = 4$通り

(13, 13): 1通り

合計すると $4+4+1+4+4+4+1+4+1 = 27$通り。

次に、同じマークであり、かつ、和が22以上になる場合を考えます。

ハートで和が22以上になるのは、(9,13),(10,12),(11,11),(10,13),(11,12),(11,13),(12,12),(12,13),(13,13)

スペードで和が22以上になるのは、(9,13),(10,12),(11,11),(10,13),(11,12),(11,13),(12,12),(12,13),(13,13)

それぞれの場合を数えます。

(11, 11), (12, 12), (13, 13) の3つが、ハートとスペードそれぞれで1通りずつ。合計で$1+1+1 = 3$通り。

よって、求める確率は、

$\frac{156 + 27 - 6}{325} = \frac{177}{325}$

3. 最終的な答え

$\frac{177}{325}$