確率変数 $X$ が正規分布 $N(3, 5^2)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。 * $P(-2 \le X \le 8)$ * $P(X \le 6)$ * $P(0 \le X \le 5)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(3, 5^2)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。

* $P(-2 \le X \le 8)$

* $P(X \le 6)$

* $P(0 \le X \le 5)$

2. 解き方の手順

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ を標準化するために、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ を定義する。このとき、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。標準正規分布表を用いて確率を計算する。

(1) $P(-2 \le X \le 8)$ を求める。

$Z = \frac{X - 3}{5}$ とおく。

$X = -2$ のとき、$Z = \frac{-2 - 3}{5} = -1$

$X = 8$ のとき、$Z = \frac{8 - 3}{5} = 1$

よって、$P(-2 \le X \le 8) = P(-1 \le Z \le 1)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ である。

$P(-1 \le Z \le 1) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1) = P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826$

(2) $P(X \le 6)$ を求める。

$Z = \frac{X - 3}{5}$ とおく。

$X = 6$ のとき、$Z = \frac{6 - 3}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$

よって、$P(X \le 6) = P(Z \le 0.6)$

$P(Z \le 0.6) = P(Z \le 0) + P(0 \le Z \le 0.6)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 0.6) = 0.2257$ である。

$P(Z \le 0.6) = 0.5 + 0.2257 = 0.7257$

(3) $P(0 \le X \le 5)$ を求める。

$Z = \frac{X - 3}{5}$ とおく。

$X = 0$ のとき、$Z = \frac{0 - 3}{5} = -\frac{3}{5} = -0.6$

$X = 5$ のとき、$Z = \frac{5 - 3}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

よって、$P(0 \le X \le 5) = P(-0.6 \le Z \le 0.4)$

$P(-0.6 \le Z \le 0.4) = P(-0.6 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 0.4)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 0.6) = 0.2257$、$P(0 \le Z \le 0.4) = 0.1554$ である。

$P(-0.6 \le Z \le 0.4) = 0.2257 + 0.1554 = 0.3811$

3. 最終的な答え

* $P(-2 \le X \le 8) = 0.6826$

* $P(X \le 6) = 0.7257$

* $P(0 \le X \le 5) = 0.3811$