2つの変量 $x$ と $y$ の5個のデータが与えられており、それぞれの平均が6で、$y$ の分散が32である。 (1) $a$ の値を求め、$x$ の分散を求めよ。 (2) $x$ と $y$ の相関係数が0.7のとき、$b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの変量 $x$ と $y$ の5個のデータが与えられており、それぞれの平均が6で、$y$ の分散が32である。

(1) $a$ の値を求め、$x$ の分散を求めよ。

(2) $x$ と $y$ の相関係数が0.7のとき、$b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x$ の平均が6であることから、

$\frac{2 + 10 + a + 8 + 4}{5} = 6$

$24 + a = 30$

$a = 6$

$x$ の分散は、各データの2乗の平均から平均の2乗を引くことで求められる。

$x$ の2乗の平均は、

$\frac{2^2 + 10^2 + 6^2 + 8^2 + 4^2}{5} = \frac{4 + 100 + 36 + 64 + 16}{5} = \frac{220}{5} = 44$

$x$ の分散は、

$44 - 6^2 = 44 - 36 = 8$

(2)

$y$ の平均が6であることから、

$\frac{b + 16 + c + 4 + 8}{5} = 6$

$b + c + 28 = 30$

$b + c = 2$

$y$ の分散が32であることから、

$\frac{b^2 + 16^2 + c^2 + 4^2 + 8^2}{5} - 6^2 = 32$

$\frac{b^2 + 256 + c^2 + 16 + 64}{5} - 36 = 32$

$b^2 + c^2 + 336 = (32 + 36) \times 5 = 68 \times 5 = 340$

$b^2 + c^2 = 4$

$b + c = 2$ より、$c = 2 - b$ であるから、

$b^2 + (2-b)^2 = 4$

$b^2 + 4 - 4b + b^2 = 4$

$2b^2 - 4b = 0$

$2b(b - 2) = 0$

$b = 0$ または $b = 2$

$b = 0$ のとき、$c = 2$

$b = 2$ のとき、$c = 0$

$x$ と $y$ の共分散を $s_{xy}$ とすると、

$s_{xy} = \frac{(2-6)(b-6) + (10-6)(16-6) + (6-6)(c-6) + (8-6)(4-6) + (4-6)(8-6)}{5}$

$= \frac{-4(b-6) + 4(10) + 0(c-6) + 2(-2) + (-2)(2)}{5}$

$= \frac{-4b + 24 + 40 - 4 - 4}{5} = \frac{-4b + 56}{5}$

$x$ の標準偏差 $s_x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$y$ の標準偏差 $s_y = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

相関係数 $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ より、

$0.7 = \frac{(-4b+56)/5}{2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{-4b+56}{5 \times 16} = \frac{-4b+56}{80}$

$0.7 \times 80 = -4b + 56$

$56 = -4b + 56$

$4b = 0$

$b = 0$

$c = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$, $x$ の分散は 8

(2) $b = 0$, $c = 2$