## 問題の回答

幾何学三角形内角内心四角形内接接線円の直径
2025/3/13
## 問題の回答
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1. 問題の内容

画像に示された数学の問題は以下の通りです。

1. 三角形ABCにおいて、角Bが20°、角Cが40°であり、Iは内心である。角BIC(α)の大きさを求める。

2. 円に内接する四角形の問題が2つあります。

* 円に内接する四角形ABCDにおいて、角ABCが80°のとき、角ADC(α)と角DAC(β)を求める。ただし、線分ACは円Oの直径である。
* 円に内接する四角形ABCDにおいて、角DABが120°、角ABCが100°のとき、角BCD(α)と角CDA(β)を求める。

3. 三角形ABCの内接円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれP, Q, Rとする。AR=6, BP=5, CP=3のとき、辺ACの長さを求める。

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2. 解き方の手順

1. **内心の角度の計算**

三角形の内角の和は180°であるから、角BACは 1802040=120180 - 20 - 40 = 120°である。内心Iは角の二等分線の交点であるから、角IBCは 20/2=1020 / 2 = 10°、角ICBは 40/2=2040 / 2 = 20°である。したがって、三角形IBCにおいて、角BIC(α)は 1801020=150180 - 10 - 20 = 150°となる。

2. **円に内接する四角形の問題**

(1) 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、α=18080=100\alpha = 180 - 80 = 100°となる。また、ACは円の直径なので、角ADCは90度。したがって、角DAC(β\beta)は、三角形ADCの内角の和より、β=18090100=10\beta = 180 - 90 - 100 = 10度になる。
(2) 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、α=180120=60\alpha = 180 - 120 = 60°となる。同様に、β=180100=80\beta = 180 - 100 = 80°となる。

3. **三角形の接線の長さ**

円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい。したがって、AR=AQ=6、BP=BR=5、CP=CQ=3である。
辺ACの長さはAQ+CQなので、AC=6+3=9である。
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3. 最終的な答え

1. α = 150°

2. (1) α = 100°, β= 10°

(2) α = 60°, β = 80°

3. AC = 9

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