## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像に示された数学の問題は以下の通りです。

1. 三角形ABCにおいて、角Bが20°、角Cが40°であり、Iは内心である。角BIC（α）の大きさを求める。

2. 円に内接する四角形の問題が2つあります。

* 円に内接する四角形ABCDにおいて、角ABCが80°のとき、角ADC（α）と角DAC（β）を求める。ただし、線分ACは円Oの直径である。

* 円に内接する四角形ABCDにおいて、角DABが120°、角ABCが100°のとき、角BCD（α）と角CDA（β）を求める。

3. 三角形ABCの内接円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれP, Q, Rとする。AR=6, BP=5, CP=3のとき、辺ACの長さを求める。

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2. 解き方の手順

1. **内心の角度の計算**

三角形の内角の和は180°であるから、角BACは $180 - 20 - 40 = 120$°である。内心Iは角の二等分線の交点であるから、角IBCは $20 / 2 = 10$°、角ICBは $40 / 2 = 20$°である。したがって、三角形IBCにおいて、角BIC(α)は $180 - 10 - 20 = 150$°となる。

2. **円に内接する四角形の問題**

(1) 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、$\alpha = 180 - 80 = 100$°となる。また、ACは円の直径なので、角ADCは90度。したがって、角DAC($\beta$)は、三角形ADCの内角の和より、$\beta = 180 - 90 - 100 = 10$度になる。

(2) 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、$\alpha = 180 - 120 = 60$°となる。同様に、$\beta = 180 - 100 = 80$°となる。

3. **三角形の接線の長さ**

円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい。したがって、AR=AQ=6、BP=BR=5、CP=CQ=3である。

辺ACの長さはAQ+CQなので、AC=6+3=9である。

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3. 最終的な答え

1. α = 150°

2. (1) α = 100°, β= 10°

(2) α = 60°, β = 80°

3. AC = 9