1600世帯を無作為に抽出し、320世帯がテレビ番組を視聴していた。この番組の視聴率 $p$ を信頼度95%で推定し、$p$ の範囲を求める問題。ただし、答えは小数第3位を四捨五入する。

1. 問題の内容

1600世帯を無作為に抽出し、320世帯がテレビ番組を視聴していた。この番組の視聴率 $p$ を信頼度95%で推定し、$p$ の範囲を求める問題。ただし、答えは小数第3位を四捨五入する。

2. 解き方の手順

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{320}{1600} = 0.2$

次に、信頼度95%における信頼区間を計算する。母比率の信頼区間は、一般に以下の式で与えられる。

$\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$n$ は標本サイズ（1600）、$\hat{p}$ は標本比率（0.2）、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ 分位点である。信頼度95%の場合、$\alpha = 0.05$ であり、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} \approx 1.96$ である。

$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{1600}} = \sqrt{\frac{0.16}{1600}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$

したがって、信頼区間は次のようになる。

$0.2 - 1.96 \times 0.01 \leq p \leq 0.2 + 1.96 \times 0.01$

$0.2 - 0.0196 \leq p \leq 0.2 + 0.0196$

$0.1804 \leq p \leq 0.2196$

小数第3位を四捨五入すると、

$0.18 \leq p \leq 0.22$

3. 最終的な答え

$$

0. 18 \leq p \leq 0.22$