右の図形を直線 $l$ の周りに1回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。図形は半径3の半円と、一辺の長さが3の正方形が組み合わさったものです。

1. 問題の内容

右の図形を直線 $l$ の周りに1回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。図形は半径3の半円と、一辺の長さが3の正方形が組み合わさったものです。

2. 解き方の手順

(1) 表面積

回転してできる立体は、半径3の球の半分と、底面の半径が3、高さが3の円柱から、半径3の半球の底面をくり抜いたものになります。

- 半球の表面積: 半球の表面積は、$4\pi r^2$ の半分なので、$2\pi r^2$。$r=3$ を代入して、$2\pi (3^2) = 18\pi$

- 円柱の側面積: 円柱の側面積は、$2\pi r h$。$r=3, h=3$ を代入して、$2\pi(3)(3) = 18\pi$

- 円柱の底面積: 円柱の底面積は、$\pi r^2$。$r=3$を代入して、$\pi(3^2) = 9\pi$

- 半球の底面の穴: 半球の底面積は $\pi r^2 = 9\pi$ですが、これは穴なので表面積には含まれません。

よって、表面積は、半球の表面積 + 円柱の側面積 + 円柱の底面積 = $18\pi + 18\pi + 9\pi = 45\pi$

(2) 体積

- 半球の体積: 半球の体積は、$\frac{4}{3}\pi r^3$ の半分なので、$\frac{2}{3}\pi r^3$。$r=3$ を代入して、$\frac{2}{3}\pi (3^3) = \frac{2}{3}\pi(27) = 18\pi$

- 円柱の体積: 円柱の体積は、$\pi r^2 h$。$r=3, h=3$ を代入して、$\pi (3^2)(3) = 27\pi$

よって、体積は、半球の体積 + 円柱の体積 = $18\pi + 27\pi = 45\pi$

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $45\pi$

(2) 体積: $45\pi$