円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。AB=ACであるとき、角xの大きさを求めなさい。ただし、角ABC = 70度とする。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。AB=ACであるとき、角xの大きさを求めなさい。ただし、角ABC = 70度とする。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形であるから、$\angle ACB = \angle ABC = 70^\circ$となる。

三角形の内角の和は180度なので、$\angle BAC$は以下の式で求められる。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$

次に、円周角の定理より、$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$となる。

三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形であるから、$\angle OBC = \angle OCB$である。

三角形の内角の和は180度なので、$\angle OBC$と$\angle OCB$は以下の式で求められる。

$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC) / 2 = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ$

$\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$

三角形ABOはOA=OBの二等辺三角形であるから、$\angle BAO = \angle ABO = 20^\circ$である。

$\angle AOB = 180^\circ - \angle OBA - \angle BAO = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$

円周角の定理より、$x = \angle BCA = \angle AOB / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$

3. 最終的な答え

x = 20 度