$x, y$ を自然数とするとき、$4x + 5y$ の形で表すことのできない最大の整数を求めます。

数論不定方程式最大整数線形結合自然数
2025/4/8

1. 問題の内容

x,yx, y を自然数とするとき、4x+5y4x + 5y の形で表すことのできない最大の整数を求めます。

2. 解き方の手順

一般に、互いに素な自然数 a,ba, b に対して、ax+byax + by (x,yx, y は自然数) で表せない最大の整数は ababab - a - b であることが知られています。
しかし、この問題では、x,yx, y が自然数であることに注意する必要があります。
x,yx, y が自然数の場合、式は 4x+5y4x + 5y となります。
まず、4x+5y=k4x + 5y = k (x,y1x, y \ge 1) と表せない最大の整数 kk を求めることを考えます。
x=x1,y=y1x' = x - 1, y' = y - 1 とおくと、x=x+1,y=y+1x = x' + 1, y = y' + 1 であり、x,y0x', y' \ge 0 となります。
4x+5y=4(x+1)+5(y+1)=4x+5y+4+5=4x+5y+9=k4x + 5y = 4(x' + 1) + 5(y' + 1) = 4x' + 5y' + 4 + 5 = 4x' + 5y' + 9 = k
よって、4x+5y=k94x' + 5y' = k - 9 となります。
x,y0x', y' \ge 0 なので、4x+5y4x' + 5y' で表せない最大の整数は 4545=209=114 \cdot 5 - 4 - 5 = 20 - 9 = 11 です。
したがって、k9=11k - 9 = 11 より、k=20k = 20 となります。
4x+5y4x + 5y で表せるか表せないかを調べます。
- 1 : 表せない
- 2 : 表せない
- 3 : 表せない
- 4 : 表せない
- 5 : 表せない
- 6 : 表せない
- 7 : 表せない
- 8 : 42+504 \cdot 2 + 5 \cdot 0, 表せない
- 9 : 表せない
- 10 : 52+405 \cdot 2 + 4 \cdot 0, 表せない
- 11 : 表せない
- 12 : 43+504 \cdot 3 + 5 \cdot 0, 表せない
- 13 : 42+514 \cdot 2 + 5 \cdot 1, 表せない
- 14 : 表せない
- 15 : 53+405 \cdot 3 + 4 \cdot 0, 表せない
- 16 : 44+504 \cdot 4 + 5 \cdot 0, 表せない
- 17 : 43+514 \cdot 3 + 5 \cdot 1, 表せない
- 18 : 42+524 \cdot 2 + 5 \cdot 2, 表せない
- 19 : 41+534 \cdot 1 + 5 \cdot 3, 表せない
- 20 : 45+504 \cdot 5 + 5 \cdot 0, 表せない
- 11は4x+5y4x+5y (x,yx,yが0以上の整数)で表せない最大の整数
ここでx,yx, yが自然数なのでx,y1x, y \geq 1.
すると 4x+5y=4(x+1)+5(y+1)=4x+5y+94x + 5y = 4(x' + 1) + 5(y' + 1) = 4x' + 5y' + 9.
4x+5y4x'+5y' で表せない最大の整数は 1111.
4x+5y4x + 5y で表せない最大の整数は 11+9=1911+9=19.
20 は 4(5)+5(0)4(5) + 5(0) なので、x,y が自然数の時は不可。
19は 4(1)+5(3)4(1) + 5(3) なので、x,y が自然数の時は不可。
14 は 4(1)+5(2)4(1)+5(2) がある
次に大きい数は11
12 : 4x+5y4x + 5y, x=3, y=0, 自然数ではない
13 : 4x+5y4x + 5y, x=2, y=1
14 : 4x+5y4x + 5y, x=1, y=2
15 : 4x+5y4x + 5y, x=0, y=3, 自然数ではない
12 = 43,4 \cdot 3, 13 = 42+51,4 \cdot 2 + 5 \cdot 1, 14 = 41+52,4 \cdot 1 + 5 \cdot 2, 17= 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1, 18=18 = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2, 19=19 = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 3.. 19より大きい整数は、すべてより大きい整数は、すべて4x + 5y( (x, y \ge 1)で表せる。)で表せる。13, 14, 17, 18, 19$
4(x+5)+5(y4)=4x+20+5y20=4x+5y4(x+5)+5(y-4) = 4x+20+5y-20 = 4x+5y.
13, 14, 17, 18を比較すると 11が最大

3. 最終的な答え

11

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