$x, y$ を自然数とするとき、$4x + 5y$ の形で表すことのできない最大の整数を求めます。

1. 問題の内容

$x, y$ を自然数とするとき、$4x + 5y$ の形で表すことのできない最大の整数を求めます。

2. 解き方の手順

一般に、互いに素な自然数 $a, b$ に対して、$ax + by$ ($x, y$ は自然数) で表せない最大の整数は $ab - a - b$ であることが知られています。

しかし、この問題では、$x, y$ が自然数であることに注意する必要があります。

$x, y$ が自然数の場合、式は $4x + 5y$ となります。

まず、$4x + 5y = k$ ($x, y \ge 1$) と表せない最大の整数 $k$ を求めることを考えます。

$x' = x - 1, y' = y - 1$ とおくと、$x = x' + 1, y = y' + 1$ であり、$x', y' \ge 0$ となります。

$4x + 5y = 4(x' + 1) + 5(y' + 1) = 4x' + 5y' + 4 + 5 = 4x' + 5y' + 9 = k$

よって、$4x' + 5y' = k - 9$ となります。

$x', y' \ge 0$ なので、$4x' + 5y'$ で表せない最大の整数は $4 \cdot 5 - 4 - 5 = 20 - 9 = 11$ です。

したがって、$k - 9 = 11$ より、$k = 20$ となります。

$4x + 5y$ で表せるか表せないかを調べます。

- 1 : 表せない

- 2 : 表せない

- 3 : 表せない

- 4 : 表せない

- 5 : 表せない

- 6 : 表せない

- 7 : 表せない

- 8 : $4 \cdot 2 + 5 \cdot 0$, 表せない

- 9 : 表せない

- 10 : $5 \cdot 2 + 4 \cdot 0$, 表せない

- 11 : 表せない

- 12 : $4 \cdot 3 + 5 \cdot 0$, 表せない

- 13 : $4 \cdot 2 + 5 \cdot 1$, 表せない

- 14 : 表せない

- 15 : $5 \cdot 3 + 4 \cdot 0$, 表せない

- 16 : $4 \cdot 4 + 5 \cdot 0$, 表せない

- 17 : $4 \cdot 3 + 5 \cdot 1$, 表せない

- 18 : $4 \cdot 2 + 5 \cdot 2$, 表せない

- 19 : $4 \cdot 1 + 5 \cdot 3$, 表せない

- 20 : $4 \cdot 5 + 5 \cdot 0$, 表せない

- 11は$4x+5y$ ($x,y$が0以上の整数)で表せない最大の整数

ここで$x, y$が自然数なので$x, y \geq 1$.

すると $4x + 5y = 4(x' + 1) + 5(y' + 1) = 4x' + 5y' + 9$.

$4x'+5y'$ で表せない最大の整数は $11$.

$4x + 5y$ で表せない最大の整数は $11+9=19$.

20 は $4(5) + 5(0)$ なので、x,y が自然数の時は不可。

19は $4(1) + 5(3)$ なので、x,y が自然数の時は不可。

14 は $4(1)+5(2)$ がある

次に大きい数は11

12 : $4x + 5y$, x=3, y=0, 自然数ではない

13 : $4x + 5y$, x=2, y=1

14 : $4x + 5y$, x=1, y=2

15 : $4x + 5y$, x=0, y=3, 自然数ではない

12 = $4 \cdot 3,$13 = $4 \cdot 2 + 5 \cdot 1,$14 = $4 \cdot 1 + 5 \cdot 2,$17= 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1, $18 =$4 \cdot 2 + 5 \cdot 2, $19 =$4 \cdot 1 + 5 \cdot 3$.$19$より大きい整数は、すべて$4x + 5y$($x, y \ge 1$)で表せる。$13, 14, 17, 18, 19$

$4(x+5)+5(y-4) = 4x+20+5y-20 = 4x+5y$.

13, 14, 17, 18を比較すると 11が最大

3. 最終的な答え

11