半径16cm、中心角80°のおうぎ形と、半径 $r$ cm、中心角160°のおうぎ形があります。この2つのおうぎ形の弧の長さが等しいとき、半径 $r$ は何cmですか。

1. 問題の内容

半径16cm、中心角80°のおうぎ形と、半径 $r$ cm、中心角160°のおうぎ形があります。この2つのおうぎ形の弧の長さが等しいとき、半径 $r$ は何cmですか。

2. 解き方の手順

おうぎ形の弧の長さを求める公式は、$l = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$ です。

ここで、$l$ は弧の長さ、$r$ は半径、$\theta$ は中心角を表します。

一つ目のおうぎ形の弧の長さ $l_1$ は、

$l_1 = 2\pi \times 16 \times \frac{80}{360}$

$l_1 = 32\pi \times \frac{80}{360} = 32\pi \times \frac{2}{9} = \frac{64\pi}{9}$

二つ目のおうぎ形の弧の長さ $l_2$ は、

$l_2 = 2\pi \times r \times \frac{160}{360}$

$l_2 = 2\pi r \times \frac{4}{9} = \frac{8\pi r}{9}$

問題文より、$l_1 = l_2$ なので、

$\frac{64\pi}{9} = \frac{8\pi r}{9}$

$64\pi = 8\pi r$

$r = \frac{64\pi}{8\pi}$

$r = 8$

3. 最終的な答え

8 cm