楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点Pからこの楕円に2本の接線を引く。これらの接線が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点Pからこの楕円に2本の接線を引く。これらの接線が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$とする。点Pを通る傾き$m$の直線の方程式は、

$y = m(x - x_0) + y_0$　あるいは　$y - y_0 = m(x - x_0)$

この直線が楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に接する条件を求める。

接線の方程式を $y = mx + k$ とおく。これを楕円の式に代入すると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{(mx+k)^2}{16} = 1$

$16x^2 + 9(m^2x^2 + 2mkx + k^2) = 144$

$(16 + 9m^2)x^2 + 18mkx + 9k^2 - 144 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = (9mk)^2 - (16 + 9m^2)(9k^2 - 144) = 0$

$81m^2k^2 - (144k^2 - 2304 + 81m^2k^2 - 1296m^2) = 0$

$-144k^2 + 2304 + 1296m^2 = 0$

$144k^2 = 2304 + 1296m^2$

$k^2 = 16 + 9m^2$

$k = \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

したがって、接線の方程式は、$y = mx \pm \sqrt{16 + 9m^2}$ である。

点P $(x,y)$ を通るので、

$y = mx \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

$y - mx = \pm \sqrt{16 + 9m^2}$

$(y - mx)^2 = 16 + 9m^2$

$y^2 - 2mxy + m^2x^2 = 16 + 9m^2$

$(x^2 - 9)m^2 - 2xym + (y^2 - 16) = 0$

この $m$ の二次方程式の解を $m_1, m_2$ とすると、$m_1 m_2 = -1$ （直交条件）であるから、

$\frac{y^2 - 16}{x^2 - 9} = -1$

$y^2 - 16 = -x^2 + 9$

$x^2 + y^2 = 25$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 25$