四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=1, ∠AOB = ∠BOC, ∠COA = 90°である。OAをt:(1-t)に内分する点をP, BCをt:(1-t)に内分する点をQとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とするとき、 (1) $t = \frac{1}{2}$のとき、$\vec{PQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) $|\vec{PQ}| = 1$のとき、$t$の値を求めよ。ただし、$0 < t < 1$とする。

はい、承知いたしました。問題文と画像から、数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=1, ∠AOB = ∠BOC, ∠COA = 90°である。OAをt:(1-t)に内分する点をP, BCをt:(1-t)に内分する点をQとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とするとき、

(1) $t = \frac{1}{2}$のとき、$\vec{PQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) $|\vec{PQ}| = 1$のとき、$t$の値を求めよ。ただし、$0 < t < 1$とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

PはOAをt:(1-t)に内分するので、

$\vec{OP} = t\vec{a}$

QはBCをt:(1-t)に内分するので、

$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$

したがって、$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - t\vec{a}$

$t = \frac{1}{2}$のとき、

$\vec{PQ} = (1-\frac{1}{2})\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2) $|\vec{PQ}| = 1$のとき、$t$の値を求める。

$\vec{PQ} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - t\vec{a}$より、

$|\vec{PQ}|^2 = ((1-t)\vec{b} + t\vec{c} - t\vec{a}) \cdot ((1-t)\vec{b} + t\vec{c} - t\vec{a})$

$= (1-t)^2 |\vec{b}|^2 + t^2 |\vec{c}|^2 + t^2 |\vec{a}|^2 + 2t(1-t)\vec{b} \cdot \vec{c} - 2t^2 \vec{a} \cdot \vec{c} - 2t(1-t) \vec{a} \cdot \vec{b}$

条件より、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos{\angle BOC} = \cos{\angle BOC}, \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\angle AOB} = \cos{\angle AOB}$

$\angle AOB = \angle BOC$より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

$|\vec{PQ}|^2 = (1-t)^2 + t^2 + t^2 + 2t(1-t)\cos{\angle BOC} - 2t(1-t)\cos{\angle AOB}$

$= 1 - 2t + t^2 + 2t^2 = 1 - 2t + 3t^2$

$|\vec{PQ}| = 1$なので、$|\vec{PQ}|^2 = 1$

$1 - 2t + 3t^2 = 1$

$3t^2 - 2t = 0$

$t(3t - 2) = 0$

$t = 0, \frac{2}{3}$

$0 < t < 1$より、$t = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{PQ} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2) $t = \frac{2}{3}$