点 $(5, 1, -1)$ を通り、ベクトル $(1, 1, 1)$ および $(-1, 0, 3)$ を含む平面の法線ベクトルと方程式を求めます。

1. 問題の内容

点 $(5, 1, -1)$ を通り、ベクトル $(1, 1, 1)$ および $(-1, 0, 3)$ を含む平面の法線ベクトルと方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平面の法線ベクトルを求めます。平面上の2つのベクトル $(1, 1, 1)$ と $(-1, 0, 3)$ の外積を計算することで、平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を求められます。

外積を計算します。

$$$$

\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (1)(0) \\ (1)(-1) - (1)(3) \\ (1)(0) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}

$$$$

したがって、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

次に、平面の方程式を求めます。平面上の任意の点 $(x, y, z)$ に対して、点 $(5, 1, -1)$ から $(x, y, z)$ へのベクトル $\begin{pmatrix} x-5 \\ y-1 \\ z+1 \end{pmatrix}$ は、法線ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$ と直交します。

したがって、内積は 0 になります。

$$$$

\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-5 \\ y-1 \\ z+1 \end{pmatrix} = 0

$$$$

内積を計算します。

$$$$

3(x-5) - 4(y-1) + (z+1) = 0

$$$$

$$$$

3x - 15 - 4y + 4 + z + 1 = 0

$$$$

$$$$

3x - 4y + z - 10 = 0

$$$$

よって、平面の方程式は $3x - 4y + z = 10$ となります。

3. 最終的な答え

法線ベクトル：$\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

平面の方程式：$3x - 4y + z = 10$