3つの角 $\alpha, \beta, \gamma$ が $0 < \alpha \le \beta \le \gamma < \frac{\pi}{2}$ を満たし、$\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ がいずれも自然数であるとき、以下の問いに答える。 (1) $(\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma) = (5, 4, 3)$ のとき、$\cot (\alpha + \beta + \gamma)$ を求めよ。 (2) $\cot (\alpha + \beta + \gamma) = 1$ となるとき、$\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ を求めよ。

1. 問題の内容

3つの角 $\alpha, \beta, \gamma$ が $0 < \alpha \le \beta \le \gamma < \frac{\pi}{2}$ を満たし、$\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ がいずれも自然数であるとき、以下の問いに答える。

(1) $(\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma) = (5, 4, 3)$ のとき、$\cot (\alpha + \beta + \gamma)$ を求めよ。

(2) $\cot (\alpha + \beta + \gamma) = 1$ となるとき、$\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cot(\alpha + \beta + \gamma)$ を求める。

$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$ である。

$\cot \alpha = 5, \cot \beta = 4$ より、

$\cot(\alpha + \beta) = \frac{5 \cdot 4 - 1}{5 + 4} = \frac{19}{9}$

$\cot (\alpha + \beta + \gamma) = \cot((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\cot(\alpha + \beta) \cot \gamma - 1}{\cot(\alpha + \beta) + \cot \gamma}$

$\cot (\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{19}{9} \cdot 3 - 1}{\frac{19}{9} + 3} = \frac{\frac{57}{9} - \frac{9}{9}}{\frac{19}{9} + \frac{27}{9}} = \frac{\frac{48}{9}}{\frac{46}{9}} = \frac{48}{46} = \frac{24}{23}$

(2) $\cot(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ となるとき、$\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma$ を求める。

$\cot(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ より、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$

$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$

$\cot(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\cot(\alpha + \beta) \cot \gamma - 1}{\cot(\alpha + \beta) + \cot \gamma} = 1$

$\cot(\alpha + \beta) \cot \gamma - 1 = \cot(\alpha + \beta) + \cot \gamma$

$\cot(\alpha + \beta) \cot \gamma - \cot(\alpha + \beta) - \cot \gamma - 1 = 0$

$\cot(\alpha + \beta)(\cot \gamma - 1) = \cot \gamma + 1$

$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \gamma + 1}{\cot \gamma - 1}$

$\frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} = \frac{\cot \gamma + 1}{\cot \gamma - 1}$

$(\cot \alpha \cot \beta - 1)(\cot \gamma - 1) = (\cot \alpha + \cot \beta)(\cot \gamma + 1)$

$\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma - \cot \alpha \cot \beta - \cot \gamma + 1 = \cot \alpha \cot \gamma + \cot \alpha + \cot \beta \cot \gamma + \cot \beta$

$\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma - \cot \alpha \cot \beta - \cot \gamma + 1 - \cot \alpha \cot \gamma - \cot \alpha - \cot \beta \cot \gamma - \cot \beta = 0$

$\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma - \cot \alpha \cot \beta - \cot \beta \cot \gamma - \cot \gamma \cot \alpha - \cot \alpha - \cot \beta - \cot \gamma + 1 = 0$

ここで、$x = \cot \alpha$, $y = \cot \beta$, $z = \cot \gamma$ とおくと、

$xyz - xy - yz - zx - x - y - z + 1 = 0$

$(x-1)(y-1)(z-1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1$

したがって、

$(x-1)(y-1)(z-1) = 2(x+y+z-1)$ とはならない。

ここで$x,y,z$を自然数とすると、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$であり、$0 < \alpha \leq \beta \leq \gamma < \frac{\pi}{2}$から$x \geq y \geq z \geq 1$である。

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$

$\gamma = \frac{\pi}{4} - (\alpha + \beta)$

$\cot \gamma = \cot(\frac{\pi}{4} - (\alpha+\beta)) = \frac{\cot(\alpha+\beta) \cot(\frac{\pi}{4})+1}{\cot(\frac{\pi}{4}) - \cot(\alpha+\beta)} = \frac{\cot(\alpha+\beta)+1}{1-\cot(\alpha+\beta)}$

$\cot \gamma = \frac{\frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha + \cot \beta} + 1}{1 - \frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha + \cot \beta}} = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1 + \cot \alpha + \cot \beta}{\cot \alpha + \cot \beta - \cot \alpha \cot \beta + 1} = \frac{(\cot \alpha + 1)(\cot \beta + 1)}{(\cot \alpha + 1) - (\cot \alpha \cot \beta - 1)} = \frac{(x+1)(y+1)}{x + y - xy + 1}$

$z = \frac{(x+1)(y+1)}{x+y-xy+1}$ より、

$x+y-xy+1>0$でなければならない.

$xy - x - y < 1$.

$(x-1)(y-1)<2$.

$x\geq y \geq 1$より、$y-1 \geq 0$, $x-1 \geq 0$なので、

(i)$y=1$ のとき$x$は任意。$x+y-xy+1 = x+1-x+1=2$より、$z=\frac{(x+1)(1+1)}{2}=x+1$. つまり$(x,1,x+1)$

(ii)$y=2$ のとき$x=2$のみ。$x+y-xy+1 = 2+2-4+1 = 1$より、$z=\frac{(2+1)(2+1)}{1}=9$. つまり$(2,2,9)$.

3. 最終的な答え

(1) $\cot(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{24}{23}$

(2) $(\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma) = (n, 1, n+1)$ または $(\cot \alpha, \cot \beta, \cot \gamma) = (2, 2, 9)$。ここで $n$ は1以上の整数。