$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y = \frac{x^2}{8} - 2$ と、原点を中心とする半径 1 の円 $C_2: x^2 + y^2 = 1$ がある。 (1) 実数 $t$ に対し、曲線 $C_1$ 上の点 $(t, \frac{t^2}{8} - 2)$ から円 $C_2$ へ引いた 2 本の接線が、それぞれ点 $P_1, P_2$ で $C_2$ と接する。直線 $P_1 P_2$ の方程式を求めよ。 (2) (1) で求めた直線が、$t$ の値に関わらずある円に接することを示し、その円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y = \frac{x^2}{8} - 2$ と、原点を中心とする半径 1 の円 $C_2: x^2 + y^2 = 1$ がある。

(1) 実数 $t$ に対し、曲線 $C_1$ 上の点 $(t, \frac{t^2}{8} - 2)$ から円 $C_2$ へ引いた 2 本の接線が、それぞれ点 $P_1, P_2$ で $C_2$ と接する。直線 $P_1 P_2$ の方程式を求めよ。

(2) (1) で求めた直線が、$t$ の値に関わらずある円に接することを示し、その円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$ である。

この接線が点 $(t, \frac{t^2}{8} - 2)$ を通るとすると、

$x_0 t + y_0 (\frac{t^2}{8} - 2) = 1$

$\frac{y_0}{8} t^2 + x_0 t - 2 y_0 - 1 = 0$

$t$ の二次方程式が得られる。点 $P_1, P_2$ の座標を $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ とすると、$x_1, y_1$ と $x_2, y_2$ はそれぞれ上の二次方程式の解である。

したがって、$x_1, y_1$ と $x_2, y_2$ は、次の二次方程式の解 $(x_0, y_0)$ に関する方程式を満たす。

$\frac{y_0}{8} t^2 + x_0 t - 2 y_0 - 1 = 0$

これは、$P_1, P_2$ を通る直線の方程式を表しており、

$tx + \frac{t^2}{8} y - 2y - 1 = 0$

$tx + \frac{t^2}{8} y - (2y+1) = 0$

整理すると、

$8tx + t^2 y - 16y - 8 = 0$

$8tx + (t^2 - 16)y - 8 = 0$

$P_1, P_2$ を通る直線の方程式は

$tx + (\frac{t^2}{8} - 2)y = 1$ となることはなく、$t$ の値にかかわらず決まる直線の式となる。

よって、$8tx + (t^2 - 16)y - 8 = 0$ より

$tx + (\frac{t^2}{8} - 2)y - 1 = 0$

この式は、$x_0 t + y_0 (\frac{t^2}{8} - 2) - 1 = 0$ を整理すると、

$\frac{y}{8}t^2 + x t - 2y - 1 = 0$

この直線は $P_1, P_2$ を通る直線である。

$8tx + (t^2 - 16)y = 8$ となり、$tx + (\frac{t^2}{8} - 2)y = 1$

(2) (1) で求めた直線が、ある円に接する条件を考える。

$l: tx + (\frac{t^2}{8} - 2)y - 1 = 0$

$l: tx + \frac{t^2}{8} y - 2y - 1 = 0$

$l: y \frac{t^2}{8} + x t - (2y+1) = 0$

これが $t$ の値にかかわらず成立するためには、$t$ に関する恒等式である必要があり、$x=0$かつ$y=0$でなければならない。しかし原点を通らないため円に接することはない。

（1）で求めた式 $8tx + (t^2 - 16)y - 8 = 0$ より

$t^2y + 8tx - 16y - 8 = 0$

この直線がある円 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に接するとき、円の中心 $(a, b)$ と直線との距離が半径 $r$ に等しい。

$\frac{|8ta + (t^2-16)b - 8|}{\sqrt{(8t)^2 + (t^2-16)^2}} = r$

$|8ta + (t^2-16)b - 8| = r\sqrt{64t^2 + t^4 - 32t^2 + 256}$

$|8ta + (t^2-16)b - 8| = r\sqrt{t^4 + 32t^2 + 256}$

$|8ta + (t^2-16)b - 8| = r(t^2 + 16)$

$8ta + (t^2-16)b - 8 = \pm r(t^2 + 16)$

$8ta + bt^2 - 16b - 8 = \pm r t^2 \pm 16r$

$t^2(b\mp r) + 8at - 16b - 8 \mp 16r = 0$

これが任意の $t$ について成り立つためには、$b\mp r = 0$, $a=0$, $-16b - 8 \mp 16r = 0$

$a = 0$

$b = \pm r$

$-16(\pm r) - 8 \mp 16r = 0$

$-16r - 8 - 16r = 0$ または $16r - 8 + 16r = 0$

$-32r = 8$ または $32r = 8$

$r = -\frac{1}{4}$ または $r = \frac{1}{4}$

半径は正なので、$r = \frac{1}{4}$, $b = \frac{1}{4}$

よって、$(x-0)^2 + (y-\frac{1}{4})^2 = (\frac{1}{4})^2$

$x^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

$16x^2 + (4y - 1)^2 = 1$

$16x^2 + 16y^2 - 8y + 1 = 1$

$16x^2 + 16y^2 - 8y = 0$

$2x^2 + 2y^2 - y = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = 0$

$x^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $tx + (\frac{t^2}{8} - 2)y = 1$

(2) 円の方程式は $x^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$