$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が $0 \leq s \leq 2$ かつ $1 \leq t \leq 2$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が $0 \leq s \leq 2$ かつ $1 \leq t \leq 2$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB}$となる点$B'$を考えます。

$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$

同様に、$\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA}$となる点$A'$を考えます。

$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$

$t$ の範囲が $1 \leq t \leq 2$ なので、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ は、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + (t-1)\overrightarrow{OB}$ と変形できます。

ここで、

$\overrightarrow{OP'} = s\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$とすると、$P'$ は、線分 $OB$ 方向に $\overrightarrow{OB}$ だけ平行移動した領域になります。

$0 \leq s \leq 2$ より、$s = 2s'$と置くと$0 \leq s' \leq 1$ です。

よって、

$\overrightarrow{OP} = 2s'\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = s'\overrightarrow{OA'} + t\overrightarrow{OB}$ となります。

点 $P$ の存在範囲は、$s\overrightarrow{OA}$ は原点 $O$ から $A'$ までの範囲を動くことを意味します。

$t\overrightarrow{OB}$ は $B$ から $B'$ までの範囲を動くことを意味します。

$0 \leq s \leq 2$、 $1 \leq t \leq 2$ なので、点 $P$ は、平行四辺形の内部とその周上に存在します。具体的には、点 $O, A', B, B'$ を頂点とする平行四辺形の内部とその周になります。

ただし、$s\overrightarrow{OA}$ が取りうる値は $0$ から $2\overrightarrow{OA}$ までであり、$t\overrightarrow{OB}$ が取りうる値は $\overrightarrow{OB}$ から $2\overrightarrow{OB}$ までであることに注意する必要があります。

点 $P$ の存在範囲は、四角形 $AA'B'B$ の内部とその周上になります。

3. 最終的な答え

点Pの存在範囲は、四角形AA'B'Bの内部とその周上。ここで、A'は$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$となる点、B'は$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$となる点である。