半径 $r$ m の円形の池の周りに幅 $2$ m の道を作った。道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S=2l$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ m の円形の池の周りに幅 $2$ m の道を作った。道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S=2l$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

道の外側の円の半径は $r+2$ m である。

道の面積 $S$ は、外側の円の面積から内側の円（池）の面積を引いたものなので、

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S = \pi (r+2)^2 - \pi r^2

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S = \pi (r^2 + 4r + 4) - \pi r^2

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S = \pi r^2 + 4\pi r + 4\pi - \pi r^2

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S = 4\pi r + 4\pi

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次に、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とする。道の真ん中の円の半径は $r+1$ m であるから、

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l = 2\pi (r+1)

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l = 2\pi r + 2\pi

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両辺に $2$ をかけると

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2l = 4\pi r + 4\pi

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したがって、

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S = 4\pi r + 4\pi = 2l

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よって、$S = 2l$ が証明された。

3. 最終的な答え

$S=2l$