平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下した垂線をAHとする。AC=2, BC=3, 平行四辺形ABCDの面積が$3\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める。 (1) 線分AHの長さ (2) ∠BCAの大きさ (3) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下した垂線をAHとする。AC=2, BC=3, 平行四辺形ABCDの面積が$3\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める。

(1) 線分AHの長さ

(2) ∠BCAの大きさ

(3) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さ

平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められる。

平行四辺形ABCDの面積は$3\sqrt{3}$であり、BC=3であるから、AHを高さとすると、

$BC \times AH = 3\sqrt{3}$

$3 \times AH = 3\sqrt{3}$

$AH = \sqrt{3}$

(2) ∠BCAの大きさ

三角形ACHにおいて、$\sin(\angle BCA) = \frac{AH}{AC}$である。

$AH = \sqrt{3}$、AC = 2であるから、

$\sin(\angle BCA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\angle BCA = 60^\circ$

(3) 線分BDの長さ

余弦定理を用いて、三角形ABCについて考える。

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(\angle BCA)$

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \cos(60^\circ)$

$AB^2 = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2}$

$AB^2 = 13 - 6 = 7$

$AB = \sqrt{7}$

平行四辺形ABCDにおいて、AB = CD = $\sqrt{7}$である。

平行四辺形の対角線BDの長さを求めるために、三角形BCDにおいて余弦定理を用いる。

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{7} \times \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 9 + 7 - 6\sqrt{7} \times (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 16 + 3\sqrt{7}$

$BD = \sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さ: $\sqrt{3}$

(2) ∠BCAの大きさ: $60^\circ$

(3) 線分BDの長さ: $\sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$