三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 1 + \sqrt{3}$, $A = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角の大きさ$B, C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 1 + \sqrt{3}$, $A = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角の大きさ$B, C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて、$a$の長さを求めます。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$で表されます。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{2})(1 + \sqrt{3})\cos 45^\circ$

$a^2 = 2 + (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 2\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 2 + 4 + 2\sqrt{3} - 2(1 + \sqrt{3})$

$a^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$a^2 = 4$

$a = 2$

次に、正弦定理を用いて、$B$の角度を求めます。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$で表されます。

与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、$B = 30^\circ$ または $B = 150^\circ$

しかし、$A = 45^\circ$ なので、$A + B < 180^\circ$である必要があります。

もし$B = 150^\circ$だと、$A + B = 45^\circ + 150^\circ = 195^\circ > 180^\circ$となり、これはあり得ません。

したがって、$B = 30^\circ$です。

最後に、$C$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A - B$で表されます。

$C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$B = 30^\circ$

$C = 105^\circ$