$\triangle ABC$ において、$a=2\sqrt{3}$, $b=\sqrt{13}$, $B=30^\circ$ のとき、$c$ の値を求める。ただし、答えは $c = \boxed{エ} + \sqrt{\boxed{オカ}}$ の形式で答える。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$a=2\sqrt{3}$, $b=\sqrt{13}$, $B=30^\circ$ のとき、$c$ の値を求める。ただし、答えは $c = \boxed{エ} + \sqrt{\boxed{オカ}}$ の形式で答える。

2. 解き方の手順

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{\sqrt{13}}{\sin 30^\circ}$

$\sin A = \frac{2\sqrt{3}\sin 30^\circ}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}$

ここで、余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$(\sqrt{13})^2 = (2\sqrt{3})^2 + c^2 - 2(2\sqrt{3})c \cos 30^\circ$

$13 = 12 + c^2 - 4\sqrt{3}c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$13 = 12 + c^2 - 6c$

$c^2 - 6c - 1 = 0$

これを $c$ について解くと、解の公式より、

$c = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

$c>0$ より、$c = 3 + \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$c = 3 + \sqrt{10}$