太郎さんと花子さんが常用対数表を使わずにlog10(2)の値を求める会話をしている。会話の中の空欄を埋め、与えられた条件を使ってlog10(7)とlog10(3)の値を求める。

1. 問題の内容

太郎さんと花子さんが常用対数表を使わずにlog10(2)の値を求める会話をしている。会話の中の空欄を埋め、与えられた条件を使ってlog10(7)とlog10(3)の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 空欄ア～カを埋める。

* log10(8 * 10^2) < log10(2^13)より、log10(8) + log10(10^2) < 13log10(2)。log10(8) = log10(2^3) = 3log10(2)なので、3log10(2) + 2 < 13log10(2)。したがって、ア = 2。

* 3log10(2) + 2 < 13log10(2)を整理すると、2 < 10log10(2)。よって、log10(2) > 0.2。したがって、イ = 0.2。

* 2^13 = 8192 だから、2^13 < 10^4 となる。よって、ウ = 8192, エ = 4。

* log10(2^13) < log10(10^4)より、13log10(2) < 4。よって、log10(2) < 4/13。したがって、オ = 4/13。

* 0.2 < log10(2) < 4/13 = 0.30769...なので、小数第2位まで求めると、log10(2) ≒ 0.30。したがって、カ = 0.30。

(2) 7^2 < 50 と log10(2) = 0.30 を利用して、log10(7) < 0.85 が成り立つことを示す。

* 7^2 < 50より、log10(7^2) < log10(50)である。したがって、2log10(7) < log10(5*10) = log10(5) + 1。ここで、log10(5) = log10(10/2) = log10(10) - log10(2) = 1 - log10(2) = 1 - 0.30 = 0.70。

* 2log10(7) < 0.70 + 1 = 1.70。したがって、log10(7) < 1.70/2 = 0.85。

(3) 80 < 3^4, 3^5 < 245 と log10(2) = 0.30、（2）の結果を利用して、小数第3位を四捨五入して log10(3) の値を小数第2位まで求める。

* 80 < 3^4より、log10(80) < log10(3^4)。log10(8*10) < 4log10(3)。log10(8) + 1 < 4log10(3)。log10(2^3) + 1 < 4log10(3)。3log10(2) + 1 < 4log10(3)。3*0.30 + 1 < 4log10(3)。1.90 < 4log10(3)。log10(3) > 1.90/4 = 0.475。

* 3^5 < 245より、log10(3^5) < log10(245)。5log10(3) < log10(5*49) = log10(5) + log10(49)。5log10(3) < log10(5) + log10(7^2)。5log10(3) < log10(5) + 2log10(7)。5log10(3) < 0.70 + 2*0.85 = 0.70 + 1.70 = 2.40。log10(3) < 2.40/5 = 0.48。

* 0.475 < log10(3) < 0.48。小数第3位を四捨五入すると、log10(3) ≒ 0.48。

3. 最終的な答え

(1) ア=2, イ=0.2, ウ=8192, エ=4, オ=4/13, カ=0.30

(2) log10(7) < 0.85 が成り立つ

(3) log10(3) ≒ 0.48