三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=5$, $b=\sqrt{7}$, $c=2\sqrt{3}$ のとき、角Bの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=5$, $b=\sqrt{7}$, $c=2\sqrt{3}$ のとき、角Bの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Bを求めます。余弦定理は、以下の式で表されます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

この式を $\cos{B}$ について解きます。

$2ac\cos{B} = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入します。

$\cos{B} = \frac{5^2 + (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3}}$

$\cos{B} = \frac{25 + 12 - 7}{20\sqrt{3}}$

$\cos{B} = \frac{30}{20\sqrt{3}}$

$\cos{B} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

$\cos{B} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

$\cos{B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる $B$ の値を求めると、$B = 30^\circ$です。

3. 最終的な答え

B = 30